En este bloque se estudian las ecuaciones lineales con una variable, la técnica para resolverlas y las bases matemáticas que se utilizan, así como su construcción a partir de enunciados.
Con lo anterior se pretende aplicar diversas técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable, además, formular y solucionar problemas con técnicas algebraicas en situaciones que se representan mediante ecuaciones lineales, para así valorar la importancia de la conexión entre funciones y ecuaciones lineales para examinar y solucionar situaciones.
Una ecuación se construye a partir del enunciado de una situación que se presenta en el quehacer cotidiano o científico del ser humano. Al interpretar un enunciado planteado en lenguaje común y transformarlo al lenguaje matemático utilizando variables, signos, símbolos, etc., se construye una ecuación. Las ecuaciones son proposiciones de igualdad que involucran una o más variables, que representan valores no conocidos, y que son válidas para una o más valores de la o las variables.
Construye los modelos matemáticos para el siguiente enunciado y contesta las preguntas planteadas.
1. Una persona dispone de $ 25 000 que pretende invertir de la siguiente manera: Una parte del dinero la colocará en Tarjeta de inversión, que paga 15 % anualizado de interés simple. Otra parte la invertirá en bolsa de valores, que paga el 25 % anualizado de interés simple. Dicha persona establece como meta obtener 20 % de ganancias sobre capital al cabo de un año, es decir, 0.20 ($ 25 000) = $ 5 000. ¿Qué cantidad de dinero debe invertir en la tarjeta y cuánto en la bolsa para obtener la ganancia antes mencionada?
Planteamiento: Si x es la cantidad a depositar en la tarjeta, entonces 25 000 – x será la cantidad a depositar en la bolsa.
El monto de los intereses obtenidos en la tarjeta al depositar x cantidad de dinero al 15 % está dado por la expresión: 0.15x
El monto de los intereses obtenidos en la bolsa al depositar ($ 25 000 – x) al 25 % está dado por la expresión: 0.25 (25 000 – x).
De manera que el problema puede expresarse así: «El monto de intereses ganados en la tarjeta más el monto de intereses ganados en la bolsa es igual a $ 5 000».
La ecuación es:
0.15x + 0.25 (25 000 – x) = 5 000
Solución: Despejamos x de la ecuación:
0.15x + 6 250 – 0.25x = 5 000
- 0.10x = - 6 250 + 5 000
x = - 1250
-0.10
x = 12 500
Recuerda que x representa la cantidad de dinero a depositar en la tarjeta, es decir, 12 500.
Por tanto: 25 000 – 12 500 = 12 500 será la cantidad a depositar en la bolsa.
Comprobación:
$ 12 500 depositados al 15 % generan utilidades de 0.15 ($ 12 500) = $ 1 875
$ 12 500 depositados al 25 % generan utilidades de 0.25 ($ 12 500) = $ 3 125
La suma de las utilidades es de $ 5 000, que es la cantidad esperada por el inversionista.
EVALUACIÓN
Construye los modelos matemáticos para los siguientes problemas y contesta las preguntas planteadas.
1. Las medidas de los lados de un triángulo corresponden a tres números consecutivos. Si su perímetro vale 42, ¿cuánto valen sus lados?
2. Ana es 8 años mayor que Carlos, pero hace 3 años tenía el triple de edad que él. ¿Cuál es la edad que tiene cada uno de ellos actualmente?
3. Gloria es dos veces mayor que Gina. Dentro de de 15 años la suma de sus edades será 105 años. ¿Qué edad tienen actualmente?
4. ¿Cuáles son los tres números enteros consecutivos cuya suma es 105?
5. El señor Garza invirtió $ 200 000 a un plazo de un año, una parte de su dinero al 8 % y el resto al 10 %. Si su monto total de intereses fue de $ 18 400, ¿cuánto invirtió en cada tasa?
CONCLUSIÓNPara resolver problemas planteados en lenguaje verbal se recomienda lo siguiente:
1. Leer el problema con atención para identificar las incógnitas y las cantidades conocidas.
2. Elegir las letras que se utilizarán para representar las incógnitas del problema.
3. Expresar mediante una ecuación la relación que existe entre los datos del problema.
4. Encontrar el valor o los valores de las incógnitas de la ecuación que resulta del paso anterior.
5. Verificar la solución obtenida.
Podemos concluir que para resolver una ecuación , aplicando las propiedades de la igualdad y la transposición de términos, la vamos transformando en ecuaciones equivalentes cada vez más simples hasta que la incógnita se encuentre sólo en el miembro izquierdo, teniendo como coeficiente numérico y exponente uno. En este caso decimos que la incógnita ha sido despejada y si sus valores satisfacen la ecuación original entonces son sus raíces; o sea, los elementos de su conjunto solución.
